Se aplica la regla de la derivada parcial:
dxdg(x)f(x)=g2(x)−f(x)dxdg(x)+g(x)dxdf(x)
f(x)=x2ecot(5x) y g(x)=3.
Para calcular dxdf(x):
-
Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
dxdf(x)g(x)=f(x)dxdg(x)+g(x)dxdf(x)
f(x)=x2; calculamos dxdf(x):
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Según el principio, aplicamos: x2 tenemos 2x
g(x)=ecot(5x); calculamos dxdg(x):
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Sustituimos u=cot(5x).
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Derivado eu es.
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Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por dxdcot(5x):
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Hay varias formas de calcular esta derivada.
Method #1
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Reescribimos las funciones para diferenciar:
cot(5x)=tan(5x)1
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Sustituimos u=tan(5x).
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Según el principio, aplicamos: u1 tenemos −u21
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Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por dxdtan(5x):
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Reescribimos las funciones para diferenciar:
tan(5x)=cos(5x)sin(5x)
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Se aplica la regla de la derivada parcial:
dxdg(x)f(x)=g2(x)−f(x)dxdg(x)+g(x)dxdf(x)
f(x)=sin(5x) y g(x)=cos(5x).
Para calcular dxdf(x):
-
Sustituimos u=5x.
-
La derivada del seno es igual al coseno:
dudsin(u)=cos(u)
-
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por dxd5x:
-
La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
-
Según el principio, aplicamos: x tenemos 1
Entonces, como resultado: 5
Como resultado de la secuencia de reglas:
5cos(5x)
Para calcular dxdg(x):
-
Sustituimos u=5x.
-
La derivada del coseno es igual a menos el seno:
dudcos(u)=−sin(u)
-
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por dxd5x:
-
La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
-
Según el principio, aplicamos: x tenemos 1
Entonces, como resultado: 5
Como resultado de la secuencia de reglas:
−5sin(5x)
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
cos2(5x)5sin2(5x)+5cos2(5x)
Como resultado de la secuencia de reglas:
−cos2(5x)tan2(5x)5sin2(5x)+5cos2(5x)
Method #2
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Reescribimos las funciones para diferenciar:
cot(5x)=sin(5x)cos(5x)
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Se aplica la regla de la derivada parcial:
dxdg(x)f(x)=g2(x)−f(x)dxdg(x)+g(x)dxdf(x)
f(x)=cos(5x) y g(x)=sin(5x).
Para calcular dxdf(x):
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Sustituimos u=5x.
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La derivada del coseno es igual a menos el seno:
dudcos(u)=−sin(u)
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Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por dxd5x:
-
La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
-
Según el principio, aplicamos: x tenemos 1
Entonces, como resultado: 5
Como resultado de la secuencia de reglas:
−5sin(5x)
Para calcular dxdg(x):
-
Sustituimos u=5x.
-
La derivada del seno es igual al coseno:
dudsin(u)=cos(u)
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Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por dxd5x:
-
La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
-
Según el principio, aplicamos: x tenemos 1
Entonces, como resultado: 5
Como resultado de la secuencia de reglas:
5cos(5x)
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
sin2(5x)−5sin2(5x)−5cos2(5x)
Como resultado de la secuencia de reglas:
−cos2(5x)tan2(5x)(5sin2(5x)+5cos2(5x))ecot(5x)
Como resultado de: −cos2(5x)tan2(5x)x2(5sin2(5x)+5cos2(5x))ecot(5x)+2xecot(5x)
Para calcular dxdg(x):
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La derivada de una constante 3 es igual a cero.
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
−3cos2(5x)tan2(5x)x2(5sin2(5x)+5cos2(5x))ecot(5x)+32xecot(5x)