Derivada de x*ln(lnx+1)

Ha introducido [src]

x*log(log(x) + 1)

$$x \log{\left(\log{\left(x \right)} + 1 \right)}$$

x*log(log(x) + 1)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\log{\left(x \right)} + 1 \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)} + 1$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$ :
  1. diferenciamos $\log{\left(x \right)} + 1$ miembro por miembro:
    1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
    2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
    Como resultado de: $\frac{1}{x}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{1}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}$
Como resultado de: $\log{\left(\log{\left(x \right)} + 1 \right)} + \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}$
Simplificamos:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} + 1 \right)} + 1}{\log{\left(x \right)} + 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} + 1 \right)} + 1}{\log{\left(x \right)} + 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

    1                       
---------- + log(log(x) + 1)
log(x) + 1

$$\log{\left(\log{\left(x \right)} + 1 \right)} + \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}$$

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Segunda derivada [src]

        1     
1 - ----------
    1 + log(x)
--------------
x*(1 + log(x))

$$\frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}$$

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Tercera derivada [src]

           2      
-1 + -------------
                 2
     (1 + log(x)) 
------------------
  2               
 x *(1 + log(x))

$$\frac{-1 + \frac{2}{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}}{x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}$$

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Gráfico