Derivada de y=ln4x/(x^6+4x+7)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x^{6} + 4 x + 7$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 x$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{x}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{6} + 4 x + 7$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $7$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{6}$ tenemos $6 x^{5}$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      Como resultado de: $6 x^{5} + 4$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \left(6 x^{5} + 4\right) \log{\left(4 x \right)} + \frac{x^{6} + 4 x + 7}{x}}{\left(x^{6} + 4 x + 7\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{6} - 2 x \left(3 x^{5} + 2\right) \log{\left(4 x \right)} + 4 x + 7}{x \left(x^{6} + 4 x + 7\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x^{6} - 2 x \left(3 x^{5} + 2\right) \log{\left(4 x \right)} + 4 x + 7}{x \left(x^{6} + 4 x + 7\right)^{2}}$