Derivada de y=x^3(4-x^2)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

   $g{\left(x \right)} = \left(4 - x^{2}\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 - x^{2}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 - x^{2}\right)$:

      1. diferenciamos $4 - x^{2}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $- 2 x$

         Como resultado de: $- 2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 x \left(8 - 2 x^{2}\right)$

   Como resultado de: $- 2 x^{4} \left(8 - 2 x^{2}\right) + 3 x^{2} \left(4 - x^{2}\right)^{2}$

2. Simplificamos:

   $x^{2} \left(x^{2} - 4\right) \left(7 x^{2} - 12\right)$

Respuesta:

$x^{2} \left(x^{2} - 4\right) \left(7 x^{2} - 12\right)$