Derivada de y=4^(2x)(e^(5x)-1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 4^{2 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. $\frac{d}{d u} 4^{u} = 4^{u} \log{\left(4 \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \cdot 4^{2 x} \log{\left(4 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = e^{5 x} - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $e^{5 x} - 1$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 e^{5 x}$

      4. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $5 e^{5 x}$

   Como resultado de: $2 \cdot 4^{2 x} \left(e^{5 x} - 1\right) \log{\left(4 \right)} + 5 \cdot 4^{2 x} e^{5 x}$

2. Simplificamos:

   $2^{4 x + 2} \left(e^{5 x} - 1\right) \log{\left(2 \right)} + 5 \left(16 e^{5}\right)^{x}$

Respuesta:

$2^{4 x + 2} \left(e^{5 x} - 1\right) \log{\left(2 \right)} + 5 \left(16 e^{5}\right)^{x}$