Derivada de y=tg^2x-(3x-1)^7

1. diferenciamos $- \left(3 x - 1\right)^{7} + \tan^{2}{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = 3 x - 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{7}$ tenemos $7 u^{6}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x - 1\right)$:

         1. diferenciamos $3 x - 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $21 \left(3 x - 1\right)^{6}$

      Entonces, como resultado: $- 21 \left(3 x - 1\right)^{6}$

   Como resultado de: $- 21 \left(3 x - 1\right)^{6} + \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- 15309 x^{6} + 30618 x^{5} - 25515 x^{4} + 11340 x^{3} - 2835 x^{2} + 378 x + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} - 21$

Respuesta:

$- 15309 x^{6} + 30618 x^{5} - 25515 x^{4} + 11340 x^{3} - 2835 x^{2} + 378 x + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} - 21$