Sr Examen

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((z^2+4)/(z-2i))^2
Derivada de la función/ z^2+4/ ((z^2+4)/(z-2i))^2

Derivada de ((z^2+4)/(z-2i))^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2
/  2    \ 
| z  + 4| 
|-------| 
\z - 2*I/
(z2+4z−2i)2\left(\frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right)^{2} 
((z^2 + 4)/(z - 2*i))^2
Solución detallada

  1. Sustituimos u=z2+4z−2iu = \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}.

  2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddzz2+4z−2i\frac{d}{d z} \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddzf(z)g(z)=−f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

      f(z)=z2+4f{\left(z \right)} = z^{2} + 4 y g(z)=z−2ig{\left(z \right)} = z - 2 i.

      Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z2+4z^{2} + 4 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 44 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

        Como resultado de: 2z2 z

      Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z−2iz - 2 i miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        2. La derivada de una constante −2i- 2 i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      −z2+2z(z−2i)−4(z−2i)2\frac{- z^{2} + 2 z \left(z - 2 i\right) - 4}{\left(z - 2 i\right)^{2}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    2(z2+4)(−z2+2z(z−2i)−4)(z−2i)3\frac{2 \left(z^{2} + 4\right) \left(- z^{2} + 2 z \left(z - 2 i\right) - 4\right)}{\left(z - 2 i\right)^{3}}

  4. Simplificamos:

    −2(z2+4)(z2−2z(z−2i)+4)(z−2i)3- \frac{2 \left(z^{2} + 4\right) \left(z^{2} - 2 z \left(z - 2 i\right) + 4\right)}{\left(z - 2 i\right)^{3}}

Respuesta:

−2(z2+4)(z2−2z(z−2i)+4)(z−2i)3- \frac{2 \left(z^{2} + 4\right) \left(z^{2} - 2 z \left(z - 2 i\right) + 4\right)}{\left(z - 2 i\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
        2                                    
/ 2    \             /    / 2    \          \
\z  + 4/             |  2*\z  + 4/     4*z  |
----------*(z - 2*I)*|- ---------- + -------|
         2           |           2   z - 2*I|
(z - 2*I)            \  (z - 2*I)           /
---------------------------------------------
                     2                       
                    z  + 4
(z2+4)2(z−2i)2(z−2i)(4zz−2i−2(z2+4)(z−2i)2)z2+4\frac{\frac{\left(z^{2} + 4\right)^{2}}{\left(z - 2 i\right)^{2}} \left(z - 2 i\right) \left(\frac{4 z}{z - 2 i} - \frac{2 \left(z^{2} + 4\right)}{\left(z - 2 i\right)^{2}}\right)}{z^{2} + 4}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                                                                                            /            2\\
  |                 2                                                                 /     2\ |       4 + z ||
  |  /            2\        /            2\              /           2            \   \4 + z /*|2*z - -------||
  |  |       4 + z |        |       4 + z |     /     2\ |      4 + z        2*z  |            \      z - 2*I/|
2*|2*|2*z - -------|  - 2*z*|2*z - -------| + 2*\4 + z /*|1 + ---------- - -------| + ------------------------|
  |  \      z - 2*I/        \      z - 2*I/              |             2   z - 2*I|           z - 2*I         |
  \                                                      \    (z - 2*I)           /                           /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            2                                                  
                                                   (z - 2*I)
2(−2z(2z−z2+4z−2i)+2(2z−z2+4z−2i)2+2(z2+4)(−2zz−2i+1+z2+4(z−2i)2)+(2z−z2+4z−2i)(z2+4)z−2i)(z−2i)2\frac{2 \left(- 2 z \left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right) + 2 \left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right)^{2} + 2 \left(z^{2} + 4\right) \left(- \frac{2 z}{z - 2 i} + 1 + \frac{z^{2} + 4}{\left(z - 2 i\right)^{2}}\right) + \frac{\left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right) \left(z^{2} + 4\right)}{z - 2 i}\right)}{\left(z - 2 i\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                                                                                                   /                     2               \                                                                                                                \
  |                      2                                                            /            2\ |             /     2\        /     2\|                                         /           2            \                      2                      |
  |       /            2\                                                             |       4 + z | |       2   3*\4 + z /    8*z*\4 + z /|            /            2\     /     2\ |      4 + z        2*z  |       /            2\        /            2\|
  |       |       4 + z |                                                             |2*z - -------|*|8 + 6*z  + ----------- - ------------|   /     2\ |       4 + z |   3*\4 + z /*|1 + ---------- - -------|       |       4 + z |        |       4 + z ||
  |       |2*z - -------|          2     /            2\ /           2            \   \      z - 2*I/ |                     2     z - 2*I   |   \4 + z /*|2*z - -------|              |             2   z - 2*I|   2*z*|2*z - -------|    2*z*|2*z - -------||
  |       \      z - 2*I/     4 + z      |       4 + z | |      4 + z        2*z  |                   \            (z - 2*I)                /            \      z - 2*I/              \    (z - 2*I)           /       \      z - 2*I/        \      z - 2*I/|
4*|-2*z + ---------------- + ------- + 2*|2*z - -------|*|1 + ---------- - -------| + ------------------------------------------------------- - ------------------------ - ------------------------------------- - -------------------- + -------------------|
  |           z - 2*I        z - 2*I     \      z - 2*I/ |             2   z - 2*I|                                 2                                           2                         z - 2*I                              2                z - 2*I      |
  \                                                      \    (z - 2*I)           /                            4 + z                                   (z - 2*I)                                                          4 + z                              /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                   2                                                                                                                          
                                                                                                                          (z - 2*I)
4(−2z(2z−z2+4z−2i)2z2+4−2z+2z(2z−z2+4z−2i)z−2i+2(2z−z2+4z−2i)(−2zz−2i+1+z2+4(z−2i)2)+(2z−z2+4z−2i)(6z2−8z(z2+4)z−2i+8+3(z2+4)2(z−2i)2)z2+4+(2z−z2+4z−2i)2z−2i−3(z2+4)(−2zz−2i+1+z2+4(z−2i)2)z−2i+z2+4z−2i−(2z−z2+4z−2i)(z2+4)(z−2i)2)(z−2i)2\frac{4 \left(- \frac{2 z \left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right)^{2}}{z^{2} + 4} - 2 z + \frac{2 z \left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right)}{z - 2 i} + 2 \left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right) \left(- \frac{2 z}{z - 2 i} + 1 + \frac{z^{2} + 4}{\left(z - 2 i\right)^{2}}\right) + \frac{\left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right) \left(6 z^{2} - \frac{8 z \left(z^{2} + 4\right)}{z - 2 i} + 8 + \frac{3 \left(z^{2} + 4\right)^{2}}{\left(z - 2 i\right)^{2}}\right)}{z^{2} + 4} + \frac{\left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right)^{2}}{z - 2 i} - \frac{3 \left(z^{2} + 4\right) \left(- \frac{2 z}{z - 2 i} + 1 + \frac{z^{2} + 4}{\left(z - 2 i\right)^{2}}\right)}{z - 2 i} + \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i} - \frac{\left(2 z - \frac{z^{2} + 4}{z - 2 i}\right) \left(z^{2} + 4\right)}{\left(z - 2 i\right)^{2}}\right)}{\left(z - 2 i\right)^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de ((z^2+4)/(z-2i))^2
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