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y=tg^2x-ctgx^2

Derivada de y=tg^2x-ctgx^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   2         2   
tan (x) - cot (x)
tan2(x)cot2(x)\tan^{2}{\left(x \right)} - \cot^{2}{\left(x \right)}
tan(x)^2 - cot(x)^2
Solución detallada
  1. diferenciamos tan2(x)cot2(x)\tan^{2}{\left(x \right)} - \cot^{2}{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. Sustituimos u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2(sin2(x)+cos2(x))tan(x)cos2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=cot(x)u = \cot{\left(x \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}:

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot(x)=1tan(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

          2. Sustituimos u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

            1. ddxtan(x)=1cos2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            sin2(x)+cos2(x)cos2(x)tan2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot(x)=cos(x)sin(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin2(x)cos2(x)sin2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2(sin2(x)+cos2(x))cot(x)cos2(x)tan2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Entonces, como resultado: 2(sin2(x)+cos2(x))cot(x)cos2(x)tan2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: 2(sin2(x)+cos2(x))tan(x)cos2(x)+2(sin2(x)+cos2(x))cot(x)cos2(x)tan2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    2(tan3(x)+cot(x))cos2(x)tan2(x)\frac{2 \left(\tan^{3}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}


Respuesta:

2(tan3(x)+cot(x))cos2(x)tan2(x)\frac{2 \left(\tan^{3}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
Primera derivada [src]
/         2   \          /          2   \       
\2 + 2*tan (x)/*tan(x) - \-2 - 2*cot (x)/*cot(x)
(2tan2(x)+2)tan(x)(2cot2(x)2)cot(x)\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} - \left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)}
Segunda derivada [src]
  /             2                2                                                    \
  |/       2   \    /       2   \         2    /       2   \        2    /       2   \|
2*\\1 + tan (x)/  - \1 + cot (x)/  - 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 2*tan (x)*\1 + tan (x)//
2((tan2(x)+1)2+2(tan2(x)+1)tan2(x)(cot2(x)+1)22(cot2(x)+1)cot2(x))2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}\right)
Tercera derivada [src]
  /                                                               2                         2       \
  |   3    /       2   \      3    /       2   \     /       2   \             /       2   \        |
8*\cot (x)*\1 + cot (x)/ + tan (x)*\1 + tan (x)/ + 2*\1 + cot (x)/ *cot(x) + 2*\1 + tan (x)/ *tan(x)/
8(2(tan2(x)+1)2tan(x)+(tan2(x)+1)tan3(x)+2(cot2(x)+1)2cot(x)+(cot2(x)+1)cot3(x))8 \left(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{3}{\left(x \right)}\right)
Gráfico
Derivada de y=tg^2x-ctgx^2