Derivada de csc³(2x)

1. Sustituimos $u = \csc{\left(2 x \right)}$.

2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \csc{\left(2 x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\csc{\left(2 x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- \frac{6 \cos{\left(2 x \right)} \csc^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}$

4. Simplificamos:

   $- \frac{6 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin^{4}{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{6 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin^{4}{\left(2 x \right)}}$