Derivada de y=tg4cos3x

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}}{\cos{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 \cos{\left(3 x \right)}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 \cos{\left(3 x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 12 \sin{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 12 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 \cos{\left(3 x \right)}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 \cos{\left(3 x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 12 \sin{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $12 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 12 \sin{\left(3 x \right)} \sin^{2}{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)} - 12 \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}}$

3. Simplificamos:

   $- \frac{12 \sin{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{12 \sin{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 \cos{\left(3 x \right)} \right)}}$