Derivada de x*exp(-x)*(a*cos(2*x)+b*sin(2*x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)}\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = 2 x$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

            Entonces, como resultado: $- 2 a \sin{\left(2 x \right)}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = 2 x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $2 \cos{\left(2 x \right)}$

            Entonces, como resultado: $2 b \cos{\left(2 x \right)}$

         Como resultado de: $- 2 a \sin{\left(2 x \right)} + 2 b \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)} + x \left(- 2 a \sin{\left(2 x \right)} + 2 b \cos{\left(2 x \right)}\right)$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x} + \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)} + x \left(- 2 a \sin{\left(2 x \right)} + 2 b \cos{\left(2 x \right)}\right)\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)} - 2 x \left(a \sin{\left(2 x \right)} - b \cos{\left(2 x \right)}\right) - x \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)}\right)\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)} - 2 x \left(a \sin{\left(2 x \right)} - b \cos{\left(2 x \right)}\right) - x \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 x \right)}\right)\right) e^{- x}$