Derivada de y=(1/6^x6+5/x^3*√x)^5

1. Sustituimos $u = \sqrt{x} \frac{5}{x^{3}} + \left(\frac{1}{6}\right)^{x_{6}}$.

2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(\sqrt{x} \frac{5}{x^{3}} + \left(\frac{1}{6}\right)^{x_{6}}\right)$:

   1. diferenciamos $\sqrt{x} \frac{5}{x^{3}} + \left(\frac{1}{6}\right)^{x_{6}}$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $\left(\frac{1}{6}\right)^{x_{6}}$ es igual a cero.

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 5 \sqrt{x}$ y $g{\left(x \right)} = x^{3}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Entonces, como resultado: $\frac{5}{2 \sqrt{x}}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $- \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

      Como resultado de: $- \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- \frac{125 \left(\sqrt{x} \frac{5}{x^{3}} + \left(\frac{1}{6}\right)^{x_{6}}\right)^{4}}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

4. Simplificamos:

   $- \frac{125 \cdot 1296^{- x_{6}} \left(5 \cdot 6^{x_{6}} + x^{\frac{5}{2}}\right)^{4}}{2 x^{\frac{27}{2}}}$

Respuesta:

$- \frac{125 \cdot 1296^{- x_{6}} \left(5 \cdot 6^{x_{6}} + x^{\frac{5}{2}}\right)^{4}}{2 x^{\frac{27}{2}}}$