Derivada de y=5^sinx*x⁴

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 5^{\sin{\left(x \right)}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5^{\sin{\left(x \right)}} \log{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = x^{4}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

   Como resultado de: $5^{\sin{\left(x \right)}} x^{4} \log{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cdot 5^{\sin{\left(x \right)}} x^{3}$

2. Simplificamos:

   $5^{\sin{\left(x \right)}} x^{3} \left(x \log{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)} + 4\right)$

Respuesta:

$5^{\sin{\left(x \right)}} x^{3} \left(x \log{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)} + 4\right)$