Derivada de x(e^x+e^(-1))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(e e^{x} + 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = e$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e e^{x} + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $e e^{x} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Derivado $e^{x}$ es.

            Entonces, como resultado: $e e^{x}$

         Como resultado de: $e e^{x}$

      Como resultado de: $e x e^{x} + e e^{x} + 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $e$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{e x e^{x} + e e^{x} + 1}{e}$

2. Simplificamos:

   $x e^{x} + e^{x} + e^{-1}$

Respuesta:

$x e^{x} + e^{x} + e^{-1}$