Derivada de (z^2-2*z*i-1)/(z^2+1)^3

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = z^{2} - 2 i z - 1$ y $g{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 1\right)^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. diferenciamos $z^{2} - 2 i z - 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $- 2 i$

      Como resultado de: $2 z - 2 i$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = z^{2} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $z^{2} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

         Como resultado de: $2 z$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $6 z \left(z^{2} + 1\right)^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 6 z \left(z^{2} + 1\right)^{2} \left(z^{2} - 2 i z - 1\right) + \left(2 z - 2 i\right) \left(z^{2} + 1\right)^{3}}{\left(z^{2} + 1\right)^{6}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(3 z \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right) + \left(z - i\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{4}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(3 z \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right) + \left(z - i\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{4}}$