Derivada de (z^2)/(z^2+2z+2)^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = z^{2}$ y $g{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 2 z + 2\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = z^{2} + 2 z + 2$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 2 z + 2\right)$:

      1. diferenciamos $z^{2} + 2 z + 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de: $2 z + 2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(2 z + 2\right) \left(2 z^{2} + 4 z + 4\right)$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- z^{2} \left(2 z + 2\right) \left(2 z^{2} + 4 z + 4\right) + 2 z \left(z^{2} + 2 z + 2\right)^{2}}{\left(z^{2} + 2 z + 2\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 z \left(z^{2} - 2 z \left(z + 1\right) + 2 z + 2\right)}{\left(z^{2} + 2 z + 2\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{2 z \left(z^{2} - 2 z \left(z + 1\right) + 2 z + 2\right)}{\left(z^{2} + 2 z + 2\right)^{3}}$