Derivada de y=log(x⅝+x²)(x³+5)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + \frac{5 x}{8} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + \frac{5 x}{8}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + \frac{5 x}{8}\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + \frac{5 x}{8}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{5}{8}$

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x + \frac{5}{8}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 x + \frac{5}{8}}{x^{2} + \frac{5 x}{8}}$

   $g{\left(x \right)} = x^{3} + 5$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{3} + 5$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

      2. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

      Como resultado de: $3 x^{2}$

   Como resultado de: $3 x^{2} \log{\left(x^{2} + \frac{5 x}{8} \right)} + \frac{\left(2 x + \frac{5}{8}\right) \left(x^{3} + 5\right)}{x^{2} + \frac{5 x}{8}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 x^{3} \left(8 x + 5\right) \log{\left(\frac{x \left(8 x + 5\right)}{8} \right)} + \left(16 x + 5\right) \left(x^{3} + 5\right)}{x \left(8 x + 5\right)}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{3} \left(8 x + 5\right) \log{\left(\frac{x \left(8 x + 5\right)}{8} \right)} + \left(16 x + 5\right) \left(x^{3} + 5\right)}{x \left(8 x + 5\right)}$