Sr Examen

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y=(((1/6)x^2)-12x(√x)+4)^4
Derivada de la función/ x(√x)/ y=(((1/6)x^2)-12x(√x)+4)^4

Derivada de y=(((1/6)x^2)-12x(√x)+4)^4

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     4
/ 2                 \ 
|x           ___    | 
|-- - 12*x*\/ x  + 4| 
\6                  /
((−x12x+x26)+4)4\left(\left(- \sqrt{x} 12 x + \frac{x^{2}}{6}\right) + 4\right)^{4} 
(x^2/6 - 12*x*sqrt(x) + 4)^4
Solución detallada

  1. Sustituimos u=(−x12x+x26)+4u = \left(- \sqrt{x} 12 x + \frac{x^{2}}{6}\right) + 4.

  2. Según el principio, aplicamos: u4u^{4} tenemos 4u34 u^{3}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx((−x12x+x26)+4)\frac{d}{d x} \left(\left(- \sqrt{x} 12 x + \frac{x^{2}}{6}\right) + 4\right):

    1. diferenciamos (−x12x+x26)+4\left(- \sqrt{x} 12 x + \frac{x^{2}}{6}\right) + 4 miembro por miembro:

      1. diferenciamos −x12x+x26- \sqrt{x} 12 x + \frac{x^{2}}{6} miembro por miembro:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Entonces, como resultado: x3\frac{x}{3}

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

              ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

              f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              g(x)=xg{\left(x \right)} = \sqrt{x}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

              Como resultado de: 3x2\frac{3 \sqrt{x}}{2}

            Entonces, como resultado: 18x18 \sqrt{x}

          Entonces, como resultado: −18x- 18 \sqrt{x}

        Como resultado de: −18x+x3- 18 \sqrt{x} + \frac{x}{3}

      2. La derivada de una constante 44 es igual a cero.

      Como resultado de: −18x+x3- 18 \sqrt{x} + \frac{x}{3}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    4(−18x+x3)((−x12x+x26)+4)34 \left(- 18 \sqrt{x} + \frac{x}{3}\right) \left(\left(- \sqrt{x} 12 x + \frac{x^{2}}{6}\right) + 4\right)^{3}

  4. Simplificamos:

    (−54x+x)(−72x32+x2+24)3162\frac{\left(- 54 \sqrt{x} + x\right) \left(- 72 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} + 24\right)^{3}}{162}

Respuesta:

(−54x+x)(−72x32+x2+24)3162\frac{\left(- 54 \sqrt{x} + x\right) \left(- 72 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} + 24\right)^{3}}{162}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2000000000020000000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                     3                   
/ 2                 \                    
|x           ___    |  /       ___   4*x\
|-- - 12*x*\/ x  + 4| *|- 72*\/ x  + ---|
\6                  /  \              3 /
(−72x+4x3)((−x12x+x26)+4)3\left(- 72 \sqrt{x} + \frac{4 x}{3}\right) \left(\left(- \sqrt{x} 12 x + \frac{x^{2}}{6}\right) + 4\right)^{3}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                   2 /                 2                                  \
/      2       3/2\  |  /          ___\    /      27 \ /      2       3/2\|
\24 + x  - 72*x   / *|6*\-x + 54*\/ x /  + |1 - -----|*\24 + x  - 72*x   /|
                     |                     |      ___|                    |
                     \                     \    \/ x /                    /
---------------------------------------------------------------------------
                                    162
((1−27x)(−72x32+x2+24)+6(54x−x)2)(−72x32+x2+24)2162\frac{\left(\left(1 - \frac{27}{\sqrt{x}}\right) \left(- 72 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} + 24\right) + 6 \left(54 \sqrt{x} - x\right)^{2}\right) \left(- 72 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} + 24\right)^{2}}{162}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                   /                                             2                                                     \
  /     3/2     2\ |                    3     /      2       3/2\                                                      |
  |1   x       x | |     /          ___\    9*\24 + x  - 72*x   /       /      27 \ /          ___\ /      2       3/2\|
2*|- - ---- + ---|*|- 16*\-x + 54*\/ x /  + ---------------------- - 12*|1 - -----|*\-x + 54*\/ x /*\24 + x  - 72*x   /|
  \9    3     216/ |                                  3/2               |      ___|                                    |
                   \                                 x                  \    \/ x /                                    /
2(−x323+x2216+19)(−12(1−27x)(54x−x)(−72x32+x2+24)−16(54x−x)3+9(−72x32+x2+24)2x32)2 \left(- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{216} + \frac{1}{9}\right) \left(- 12 \left(1 - \frac{27}{\sqrt{x}}\right) \left(54 \sqrt{x} - x\right) \left(- 72 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} + 24\right) - 16 \left(54 \sqrt{x} - x\right)^{3} + \frac{9 \left(- 72 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} + 24\right)^{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=(((1/6)x^2)-12x(√x)+4)^4
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