Sr Examen

Derivada de y=tg3x+5x×sinx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
tan(3*x) + 5*x*sin(x)
5xsin(x)+tan(3x)5 x \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(3 x \right)}
tan(3*x) + (5*x)*sin(x)
Solución detallada
  1. diferenciamos 5xsin(x)+tan(3x)5 x \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(3 x \right)} miembro por miembro:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan(3x)=sin(3x)cos(3x)\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin(3x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} y g(x)=cos(3x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 33

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        3cos(3x)3 \cos{\left(3 x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 33

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        3sin(3x)- 3 \sin{\left(3 x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      3sin2(3x)+3cos2(3x)cos2(3x)\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}

    3. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=5xf{\left(x \right)} = 5 x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Entonces, como resultado: 55

      g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de: 5xcos(x)+5sin(x)5 x \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)}

    Como resultado de: 5xcos(x)+3sin2(3x)+3cos2(3x)cos2(3x)+5sin(x)5 x \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} + 5 \sin{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    5xcos(x)+5sin(x)+3cos2(3x)5 x \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} + \frac{3}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}


Respuesta:

5xcos(x)+5sin(x)+3cos2(3x)5 x \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} + \frac{3}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Primera derivada [src]
         2                             
3 + 3*tan (3*x) + 5*sin(x) + 5*x*cos(x)
5xcos(x)+5sin(x)+3tan2(3x)+35 x \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3
Segunda derivada [src]
                            /       2     \         
10*cos(x) - 5*x*sin(x) + 18*\1 + tan (3*x)/*tan(3*x)
5xsin(x)+18(tan2(3x)+1)tan(3x)+10cos(x)- 5 x \sin{\left(x \right)} + 18 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan{\left(3 x \right)} + 10 \cos{\left(x \right)}
Tercera derivada [src]
                               2                                             
                /       2     \                        2      /       2     \
-15*sin(x) + 54*\1 + tan (3*x)/  - 5*x*cos(x) + 108*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)/
5xcos(x)+54(tan2(3x)+1)2+108(tan2(3x)+1)tan2(3x)15sin(x)- 5 x \cos{\left(x \right)} + 54 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} + 108 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)} - 15 \sin{\left(x \right)}
Gráfico
Derivada de y=tg3x+5x×sinx