Derivada de x+((x^4+1)^(3/4))/(3x)

1. diferenciamos $x + \frac{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3 x}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{4}}$ y $g{\left(x \right)} = 3 x$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x^{4} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{\frac{3}{4}}$ tenemos $\frac{3}{4 \sqrt[4]{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x^{4} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

            Como resultado de: $4 x^{3}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{3 x^{3}}{\sqrt[4]{x^{4} + 1}}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{9 x^{4}}{\sqrt[4]{x^{4} + 1}} - 3 \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{9 x^{2}}$

   Como resultado de: $1 + \frac{\frac{9 x^{4}}{\sqrt[4]{x^{4} + 1}} - 3 \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{9 x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x^{2}}{3 \sqrt[4]{x^{4} + 1}} + 1 - \frac{1}{3 x^{2} \sqrt[4]{x^{4} + 1}}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{2}}{3 \sqrt[4]{x^{4} + 1}} + 1 - \frac{1}{3 x^{2} \sqrt[4]{x^{4} + 1}}$