Derivada de y=5sin^2x/3ctgx

Ha introducido [src]

     2          
5*sin (x)       
---------*cot(x)
    3

\frac{5 \sin^{2}{\left(x \right)}}{3} \cot{\left(x \right)}

((5*sin(x)^2)/3)*cot(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 3$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
    $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
      Method #1
      
      Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
      
      Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
      Method #2
      
      Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
      
      Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}$
  Entonces, como resultado: $- \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 10 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$- \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{10 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{3}$
Simplificamos:

$- \frac{5}{6} + \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 \sin{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{5}{6} + \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 \sin{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

     2    /        2   \                          
5*sin (x)*\-1 - cot (x)/   10*cos(x)*cot(x)*sin(x)
------------------------ + -----------------------
           3                          3

\frac{5 \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{10 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{3}

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Segunda derivada [src]

   /  /   2         2   \             2    /       2   \            /       2   \              \
10*\- \sin (x) - cos (x)/*cot(x) + sin (x)*\1 + cot (x)/*cot(x) - 2*\1 + cot (x)/*cos(x)*sin(x)/
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                               3

\frac{10 \left(- \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)}{3}

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Tercera derivada [src]

   /                                                                2    /       2   \ /         2   \                                       \
   |/       2   \ /   2         2   \   4*cos(x)*cot(x)*sin(x)   sin (x)*\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/     /       2   \                     |
10*|\1 + cot (x)/*\sin (x) - cos (x)/ - ---------------------- - ------------------------------------- + 2*\1 + cot (x)/*cos(x)*cot(x)*sin(x)|
   \                                              3                                3                                                         /

10 \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - \frac{4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{3}\right)

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Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=5sin^2x/3ctgx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2