Derivada de y=4^x×sin5x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 4^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 4^{x} = 4^{x} \log{\left(4 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 \cos{\left(5 x \right)}$

   Como resultado de: $4^{x} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(5 x \right)} + 5 \cdot 4^{x} \cos{\left(5 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $4^{x} \left(\log{\left(4^{\sin{\left(5 x \right)}} \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}\right)$

Respuesta:

$4^{x} \left(\log{\left(4^{\sin{\left(5 x \right)}} \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}\right)$