Derivada de x(e)^(-sinx)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = e^{\sin{\left(x \right)}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + e^{\sin{\left(x \right)}}\right) e^{- 2 \sin{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\left(- x \cos{\left(x \right)} + 1\right) e^{- \sin{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\left(- x \cos{\left(x \right)} + 1\right) e^{- \sin{\left(x \right)}}$