Derivada de y=cosxcos7x+sinxsin7x

1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} \sin{\left(7 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(7 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 7 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $7$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

      Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(7 x \right)} - 7 \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 7 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $7$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $7 \cos{\left(7 x \right)}$

      Como resultado de: $7 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(7 x \right)} + \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(7 x \right)} - 6 \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 6 \sin{\left(6 x \right)}$

Respuesta:

$- 6 \sin{\left(6 x \right)}$