Sr Examen

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y=(x-(1/x))*tgx
Derivada de la función/ (1/x)/ y=(x-(1/x))*tgx

Derivada de y=(x-(1/x))*tgx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
/    1\       
|x - -|*tan(x)
\    x/
(x−1x)tan⁡(x)\left(x - \frac{1}{x}\right) \tan{\left(x \right)} 
(x - 1/x)*tan(x)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=(x2−1)tan⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 1\right) \tan{\left(x \right)} y g(x)=xg{\left(x \right)} = x.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=x2−1f{\left(x \right)} = x^{2} - 1; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos x2−1x^{2} - 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Como resultado de: 2x2 x

      g(x)=tan⁡(x)g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de: 2xtan⁡(x)+(x2−1)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    x(2xtan⁡(x)+(x2−1)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x))−(x2−1)tan⁡(x)x2\frac{x \left(2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) - \left(x^{2} - 1\right) \tan{\left(x \right)}}{x^{2}}

  2. Simplificamos:

    x3+x2sin⁡(2x)2−x+sin⁡(2x)2x2cos⁡2(x)\frac{x^{3} + \frac{x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

x3+x2sin⁡(2x)2−x+sin⁡(2x)2x2cos⁡2(x)\frac{x^{3} + \frac{x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
/    1 \          /       2   \ /    1\
|1 + --|*tan(x) + \1 + tan (x)/*|x - -|
|     2|                        \    x/
\    x /
(1+1x2)tan⁡(x)+(x−1x)(tan⁡2(x)+1)\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \tan{\left(x \right)} + \left(x - \frac{1}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  //    1 \ /       2   \   tan(x)   /       2   \ /    1\       \
2*||1 + --|*\1 + tan (x)/ - ------ + \1 + tan (x)/*|x - -|*tan(x)|
  ||     2|                    3                   \    x/       |
  \\    x /                   x                                  /
2((1+1x2)(tan⁡2(x)+1)+(x−1x)(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)−tan⁡(x)x3)2 \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \left(x - \frac{1}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /    /       2   \                                                                                     \
  |  3*\1 + tan (x)/   3*tan(x)   /       2   \ /         2   \ /    1\     /    1 \ /       2   \       |
2*|- --------------- + -------- + \1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/*|x - -| + 3*|1 + --|*\1 + tan (x)/*tan(x)|
  |          3             4                                    \    x/     |     2|                     |
  \         x             x                                                 \    x /                     /
2(3(1+1x2)(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+(x−1x)(tan⁡2(x)+1)(3tan⁡2(x)+1)−3(tan⁡2(x)+1)x3+3tan⁡(x)x4)2 \left(3 \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \left(x - \frac{1}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}} + \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x^{4}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=(x-(1/x))*tgx
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