Derivada de y=sin(x)^2(4x^3-5)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = 4 x^{3} - 5$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $4 x^{3} - 5$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Entonces, como resultado: $12 x^{2}$

      2. La derivada de una constante $-5$ es igual a cero.

      Como resultado de: $12 x^{2}$

   Como resultado de: $12 x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(4 x^{3} - 5\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $2 \left(6 x^{2} \sin{\left(x \right)} + \left(4 x^{3} - 5\right) \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

Respuesta:

$2 \left(6 x^{2} \sin{\left(x \right)} + \left(4 x^{3} - 5\right) \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$