Derivada de (x-ln(1+x))/x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x - \log{\left(x + 1 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x - \log{\left(x + 1 \right)}$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = x + 1$.

         2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

            1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{x + 1}$

         Entonces, como resultado: $- \frac{1}{x + 1}$

      Como resultado de: $1 - \frac{1}{x + 1}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right) - x + \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} + \left(- x + \log{\left(x + 1 \right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} + \left(- x + \log{\left(x + 1 \right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)}$