Derivada de xlgx-7/(2x+6)*exp(-x)

1. diferenciamos $x \log{\left(x \right)} - \frac{7}{2 x + 6} e^{- x}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 1$ y $g{\left(x \right)} = \left(2 x + 6\right) e^{x}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

               $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

               $f{\left(x \right)} = 2 x + 6$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. diferenciamos $2 x + 6$ miembro por miembro:

                  1. La derivada de una constante $6$ es igual a cero.

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $2$

                  Como resultado de: $2$

               $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Derivado $e^{x}$ es.

               Como resultado de: $\left(2 x + 6\right) e^{x} + 2 e^{x}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\left(- \left(2 x + 6\right) e^{x} - 2 e^{x}\right) e^{- 2 x}}{\left(2 x + 6\right)^{2}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{7 \left(- \left(2 x + 6\right) e^{x} - 2 e^{x}\right) e^{- 2 x}}{\left(2 x + 6\right)^{2}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{7 \left(- \left(2 x + 6\right) e^{x} - 2 e^{x}\right) e^{- 2 x}}{\left(2 x + 6\right)^{2}}$

   Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{7 \left(- \left(2 x + 6\right) e^{x} - 2 e^{x}\right) e^{- 2 x}}{\left(2 x + 6\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{7 x e^{- x}}{2 \left(x + 3\right)^{2}} + \log{\left(x \right)} + 1 + \frac{14 e^{- x}}{\left(x + 3\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{7 x e^{- x}}{2 \left(x + 3\right)^{2}} + \log{\left(x \right)} + 1 + \frac{14 e^{- x}}{\left(x + 3\right)^{2}}$