Derivada de ((x+5)(2x^2-1))/x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} - 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 2 x^{2} - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $2 x^{2} - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $4 x$

         Como resultado de: $4 x$

      $g{\left(x \right)} = x + 5$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x + 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de: $2 x^{2} + 4 x \left(x + 5\right) - 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x \left(2 x^{2} + 4 x \left(x + 5\right) - 1\right) - \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $4 x + 10 + \frac{5}{x^{2}}$

Respuesta:

$4 x + 10 + \frac{5}{x^{2}}$