Derivada de cot(4/x)

1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

   Method #1

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{4}{x} \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{4}{x} \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{4}{x}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

               Entonces, como resultado: $- \frac{4}{x^{2}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{4 \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{4}{x}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

               Entonces, como resultado: $- \frac{4}{x^{2}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{4 \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- \frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{- \frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

   Method #2

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{4}{x}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

            Entonces, como resultado: $- \frac{4}{x^{2}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{4 \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{4}{x}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

            Entonces, como resultado: $- \frac{4}{x^{2}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{4 \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$