Derivada de y=tg(1/x)/x

Solución

Ha introducido [src]

   /1\
tan|-|
   \x/
------
  x

$$\frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$$

tan(1/x)/x

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(\frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{x \left(- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}} - \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
Simplificamos:

$- \frac{x \sin{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2}{x^{3} \left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 1\right)}$

Respuesta:

$- \frac{x \sin{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2}{x^{3} \left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 1\right)}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

         2/1\      /1\
  1 + tan |-|   tan|-|
          \x/      \x/
- ----------- - ------
        3          2  
       x          x

$$- \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{x^{3}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  /                            /       /1\\         \
  |                            |    tan|-||         |
  |       2/1\   /       2/1\\ |       \x/|         |
  |1 + tan |-|   |1 + tan |-||*|1 + ------|         |
  |        \x/   \        \x// \      x   /      /1\|
2*|----------- + -------------------------- + tan|-||
  \     x                    x                   \x//
-----------------------------------------------------
                           3                         
                          x

$$\frac{2 \left(\tan{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\left(1 + \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{x}\right)}{x^{3}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

   /                                           /           2/1\        2/1\        /1\\                               \
   |                                           |    1 + tan |-|   2*tan |-|   6*tan|-||                   /       /1\\|
   |                             /       2/1\\ |            \x/         \x/        \x/|                   |    tan|-|||
   |             /       2/1\\   |1 + tan |-||*|3 + ----------- + --------- + --------|     /       2/1\\ |       \x/||
   |           3*|1 + tan |-||   \        \x// |          2            2         x    |   3*|1 + tan |-||*|1 + ------||
   |     /1\     \        \x//                 \         x            x               /     \        \x// \      x   /|
-2*|3*tan|-| + --------------- + ------------------------------------------------------ + ----------------------------|
   \     \x/          x                                    x                                           x              /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            4                                                          
                                                           x

$$- \frac{2 \left(3 \tan{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{3 \left(1 + \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(3 + \frac{6 \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{x^{2}} + \frac{2 \tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x}\right)}{x^{4}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=tg(1/x)/x

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución