Derivada de y'''=sinx/(3cos^3x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 3 \cos^{3}{\left(x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- 9 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{9 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{9 \cos^{6}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 - \cos{\left(2 x \right)}}{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 - \cos{\left(2 x \right)}}{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}$