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y=lnx^2/(4-x^2)

Derivada de y=lnx^2/(4-x^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   2   
log (x)
-------
      2
 4 - x 
log(x)24x2\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{4 - x^{2}}
log(x)^2/(4 - x^2)
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=log(x)2f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{2} y g(x)=4x2g{\left(x \right)} = 4 - x^{2}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog(x)\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}:

      1. Derivado log(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2log(x)x\frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos 4x24 - x^{2} miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante 44 es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Entonces, como resultado: 2x- 2 x

      Como resultado de: 2x- 2 x

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    2xlog(x)2+2(4x2)log(x)x(4x2)2\frac{2 x \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{2 \left(4 - x^{2}\right) \log{\left(x \right)}}{x}}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    2(x2log(x)x2+4)log(x)x(x24)2\frac{2 \left(x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} + 4\right) \log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)^{2}}


Respuesta:

2(x2log(x)x2+4)log(x)x(x24)2\frac{2 \left(x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} + 4\right) \log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5050
Primera derivada [src]
       2                
2*x*log (x)    2*log(x) 
----------- + ----------
         2      /     2\
 /     2\     x*\4 - x /
 \4 - x /               
2xlog(x)2(4x2)2+2log(x)x(4x2)\frac{2 x \log{\left(x \right)}^{2}}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x \left(4 - x^{2}\right)}
Segunda derivada [src]
  /                                 /          2 \\
  |                            2    |       4*x  ||
  |                         log (x)*|-1 + -------||
  |                                 |           2||
  |-1 + log(x)   4*log(x)           \     -4 + x /|
2*|----------- + -------- - ----------------------|
  |      2             2                 2        |
  \     x        -4 + x            -4 + x         /
---------------------------------------------------
                            2                      
                      -4 + x                       
2((4x2x241)log(x)2x24+4log(x)x24+log(x)1x2)x24\frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2} - 4} + \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} + \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 4}
Tercera derivada [src]
  /                                      /          2 \                       /          2 \\
  |                                      |       4*x  |                  2    |       2*x  ||
  |                                    6*|-1 + -------|*log(x)   12*x*log (x)*|-1 + -------||
  |                                      |           2|                       |           2||
  |  -3 + 2*log(x)   6*(-1 + log(x))     \     -4 + x /                       \     -4 + x /|
2*|- ------------- - --------------- - ----------------------- + ---------------------------|
  |         3            /      2\             /      2\                           2        |
  |        x           x*\-4 + x /           x*\-4 + x /                  /      2\         |
  \                                                                       \-4 + x /         /
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 2                                           
                                           -4 + x                                            
2(12x(2x2x241)log(x)2(x24)26(4x2x241)log(x)x(x24)6(log(x)1)x(x24)2log(x)3x3)x24\frac{2 \left(\frac{12 x \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{6 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)} - \frac{6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{x \left(x^{2} - 4\right)} - \frac{2 \log{\left(x \right)} - 3}{x^{3}}\right)}{x^{2} - 4}
Gráfico
Derivada de y=lnx^2/(4-x^2)