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¿Cómo usar?
Derivada de:
Derivada de 1/2*cos(x)
Derivada de y=4-3x
Derivada de x^3-6x^2+1
Derivada de log10
Expresiones idénticas
y=lnsqrt((uno +cosx)/(uno -cosx))
y es igual a ln raíz cuadrada de ((1 más coseno de x) dividir por (1 menos coseno de x))
y es igual a ln raíz cuadrada de ((uno más coseno de x) dividir por (uno menos coseno de x))
y=ln√((1+cosx)/(1-cosx))
y=lnsqrt1+cosx/1-cosx
y=lnsqrt((1+cosx) dividir por (1-cosx))
Expresiones semejantes
y=lnsqrt((1-cosx)/(1-cosx))
y=lnsqrt((1+cosx)/(1+cosx))
y=ln*sqrt((1+cosx)/(1-cosx))
Expresiones con funciones
cosx
cosx/x
cosx/x^2
cosx*ctgx
cosx/(1+sinx)
cosx+sinx
cosx
cosx/x
cosx/x^2
cosx*ctgx
cosx/(1+sinx)
cosx+sinx

Derivada de la función/ (1+cosx)/(1-cosx)/ y=lnsqrt((1+cosx)/(1-cosx))

Derivada de y=lnsqrt((1+cosx)/(1-cosx))

Solución

Ha introducido [src]

   /    ____________\
   |   / 1 + cos(x) |
log|  /  ---------- |
   \\/   1 - cos(x) /

$$\log{\left(\sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}} \right)}$$

log(sqrt((1 + cos(x))/(1 - cos(x))))

Solución detallada

Sustituimos $u = \sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}}$ .
Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}$ .
2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$ y $g{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. diferenciamos $\cos{\left(x \right)} + 1$ miembro por miembro:
      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. diferenciamos $1 - \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
        
        La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
        
        Entonces, como resultado: $\sin{\left(x \right)}$
      Como resultado de: $\sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} \left(- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

             /      sin(x)       (1 + cos(x))*sin(x)\
(1 - cos(x))*|- -------------- - -------------------|
             |  2*(1 - cos(x))                   2  |
             \                     2*(1 - cos(x))   /
-----------------------------------------------------
                      1 + cos(x)

$$\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

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Segunda derivada [src]

                                                   2    /     1 + cos(x)\                            2    /     1 + cos(x)\
                2           2                   sin (x)*|1 - -----------|                         sin (x)*|1 - -----------|
  cos(x)     sin (x)     sin (x)*(1 + cos(x))           \    -1 + cos(x)/   (1 + cos(x))*cos(x)           \    -1 + cos(x)/
- ------ - ----------- + -------------------- + ------------------------- + ------------------- - -------------------------
    2      -1 + cos(x)                   2           2*(-1 + cos(x))          2*(-1 + cos(x))           2*(1 + cos(x))     
                            (-1 + cos(x))                                                                                  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                         1 + cos(x)

$$\frac{- \frac{\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)} + \frac{\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

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Tercera derivada [src]

/          2                                  2                                  2                                  2                                                                                                                                                                                                                                          \       
|     2*sin (x)    (1 + cos(x))*cos(x)   2*sin (x)*(1 + cos(x))             2*sin (x)    (1 + cos(x))*cos(x)   2*sin (x)*(1 + cos(x))                                                                                                                                                                                                                          |       
|    ----------- - ------------------- - ---------------------- + cos(x)   ----------- - ------------------- - ---------------------- + cos(x)                                                    /     1 + cos(x)\             2    /     1 + cos(x)\                                                    /     1 + cos(x)\             2    /     1 + cos(x)\ |       
|    -1 + cos(x)       -1 + cos(x)                        2                -1 + cos(x)       -1 + cos(x)                        2                                     2                           |1 - -----------|*cos(x)   sin (x)*|1 - -----------|        2                                           |1 - -----------|*cos(x)   sin (x)*|1 - -----------| |       
|1                                           (-1 + cos(x))                                                         (-1 + cos(x))                   3*cos(x)      3*sin (x)         1 + cos(x)     \    -1 + cos(x)/                  \    -1 + cos(x)/   3*sin (x)*(1 + cos(x))   3*(1 + cos(x))*cos(x)   \    -1 + cos(x)/                  \    -1 + cos(x)/ |       
|- + ------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------- - ----------- - -------------- - --------------- + ------------------------ - ------------------------- + ---------------------- + --------------------- - ------------------------ + --------------------------|*sin(x)
|2                               -1 + cos(x)                                                            1 + cos(x)                               -1 + cos(x)                2   2*(-1 + cos(x))       2*(-1 + cos(x))                          2                          3                        2           2*(1 + cos(x))        (1 + cos(x))*(-1 + cos(x))|       
\                                                                                                                                                              (-1 + cos(x))                                                       (1 + cos(x))              (-1 + cos(x))            (-1 + cos(x))                                                            /       
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                               1 + cos(x)

$$\frac{\left(- \frac{\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)} - \frac{\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)} + \frac{\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)} + \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

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