Derivada de x√((x+1)^3)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x + 1\right)^{3}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \left(x + 1\right)^{3}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{3}$:

      1. Sustituimos $u = x + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \left(x + 1\right)^{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{\left(x + 1\right)^{3}}}$

   Como resultado de: $\frac{3 x \left(x + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{\left(x + 1\right)^{3}}} + \sqrt{\left(x + 1\right)^{3}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)}{2 \sqrt{\left(x + 1\right)^{3}}}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)}{2 \sqrt{\left(x + 1\right)^{3}}}$