Derivada de y'=2x/(x^2-7)^(1/3)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 2 x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{2} - 7}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $2$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} - 7$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{u}$ tenemos $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 7\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} - 7$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-7$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 x}{3 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{2}{3}}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{4 x^{2}}{3 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{2}{3}}} + 2 \sqrt[3]{x^{2} - 7}}{\left(x^{2} - 7\right)^{\frac{2}{3}}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(x^{2} - 21\right)}{3 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x^{2} - 21\right)}{3 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}$