Derivada de e^(a*x)*cos(b*x+c)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{a x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = a x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} a x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $a$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $a e^{a x}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(b x + c \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = b x + c$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(b x + c\right)$:

      1. diferenciamos $b x + c$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $b$

         2. La derivada de una constante $c$ es igual a cero.

         Como resultado de: $b$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- b \sin{\left(b x + c \right)}$

   Como resultado de: $a e^{a x} \cos{\left(b x + c \right)} - b e^{a x} \sin{\left(b x + c \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(a \cos{\left(b x + c \right)} - b \sin{\left(b x + c \right)}\right) e^{a x}$

Respuesta:

$\left(a \cos{\left(b x + c \right)} - b \sin{\left(b x + c \right)}\right) e^{a x}$