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Derivada de y'=raiz(1-cos(x)^2)/x^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   _____________
  /        2    
\/  1 - cos (x) 
----------------
        2       
       x        
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}}{x^{2}}$$
sqrt(1 - cos(x)^2)/x^2
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    y .

    Para calcular :

    1. Sustituimos .

    2. Según el principio, aplicamos: tenemos

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

      1. diferenciamos miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Sustituimos .

          2. Según el principio, aplicamos: tenemos

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            Como resultado de la secuencia de reglas:

          Entonces, como resultado:

        Como resultado de:

      Como resultado de la secuencia de reglas:

    Para calcular :

    1. Según el principio, aplicamos: tenemos

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

  2. Simplificamos:


Respuesta:

Primera derivada [src]
       _____________                      
      /        2                          
  2*\/  1 - cos (x)       cos(x)*sin(x)   
- ------------------ + -------------------
           3                 _____________
          x             2   /        2    
                       x *\/  1 - cos (x) 
$$\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}} - \frac{2 \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}}{x^{3}}$$
Segunda derivada [src]
                       2       2                                             
   2         2      cos (x)*sin (x)                                          
cos (x) - sin (x) + ---------------        _____________                     
                              2           /        2                         
                      -1 + cos (x)    6*\/  1 - cos (x)     4*cos(x)*sin(x)  
----------------------------------- + ------------------ - ------------------
             _____________                     2                _____________
            /        2                        x                /        2    
          \/  1 - cos (x)                                  x*\/  1 - cos (x) 
-----------------------------------------------------------------------------
                                       2                                     
                                      x                                      
$$\frac{\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}} - \frac{4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}} + \frac{6 \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}}{x^{2}}}{x^{2}}$$
Tercera derivada [src]
                                                                  /          2              2             2       2   \                                    
                          /                       2       2   \   |     3*cos (x)      3*sin (x)     3*cos (x)*sin (x)|                                    
                          |   2         2      cos (x)*sin (x)|   |4 - ------------ + ------------ - -----------------|*cos(x)*sin(x)                      
        _____________   6*|cos (x) - sin (x) + ---------------|   |            2              2                     2 |                                    
       /        2         |                              2    |   |    -1 + cos (x)   -1 + cos (x)    /        2   \  |                                    
  24*\/  1 - cos (x)      \                      -1 + cos (x) /   \                                   \-1 + cos (x)/  /                   18*cos(x)*sin(x) 
- ------------------- - --------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------- + -------------------
            3                           _____________                                          _____________                                  _____________
           x                           /        2                                             /        2                                 2   /        2    
                                   x*\/  1 - cos (x)                                        \/  1 - cos (x)                             x *\/  1 - cos (x) 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              2                                                                            
                                                                             x                                                                             
$$\frac{- \frac{\left(4 + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}} - \frac{6 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)}{x \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}} + \frac{18 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}} - \frac{24 \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}}}{x^{3}}}{x^{2}}$$