Derivada de x/(x*x+4*x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = x^{2} + 4 x + 1$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{2} + 4 x + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      Como resultado de: $2 x + 4$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x^{2} - x \left(2 x + 4\right) + 4 x + 1}{\left(x^{2} + 4 x + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} - 2 x \left(x + 2\right) + 4 x + 1}{\left(x^{2} + 4 x + 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} - 2 x \left(x + 2\right) + 4 x + 1}{\left(x^{2} + 4 x + 1\right)^{2}}$