Derivada de y=tg(arcsin(8x^7+9))

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(\operatorname{asin}{\left(8 x^{7} + 9 \right)} \right)} = \frac{8 x^{7} + 9}{\sqrt{1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 8 x^{7} + 9$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $8 x^{7} + 9$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $9$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{7}$ tenemos $7 x^{6}$

         Entonces, como resultado: $56 x^{6}$

      Como resultado de: $56 x^{6}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}\right)$:

      1. diferenciamos $1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = 8 x^{7} + 9$.

            2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(8 x^{7} + 9\right)$:

               1. diferenciamos $8 x^{7} + 9$ miembro por miembro:

                  1. La derivada de una constante $9$ es igual a cero.

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x^{7}$ tenemos $7 x^{6}$

                     Entonces, como resultado: $56 x^{6}$

                  Como resultado de: $56 x^{6}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $56 x^{6} \left(16 x^{7} + 18\right)$

            Entonces, como resultado: $- 56 x^{6} \left(16 x^{7} + 18\right)$

         Como resultado de: $- 56 x^{6} \left(16 x^{7} + 18\right)$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{28 x^{6} \left(16 x^{7} + 18\right)}{\sqrt{1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{56 x^{6} \sqrt{1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}} + \frac{28 x^{6} \left(8 x^{7} + 9\right) \left(16 x^{7} + 18\right)}{\sqrt{1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}}}}{1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{56 x^{6}}{\left(1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{56 x^{6}}{\left(1 - \left(8 x^{7} + 9\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$