Derivada de y=x+ctg(2x+1)

1. diferenciamos $x + \cot{\left(2 x + 1 \right)}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(2 x + 1 \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x + 1 \right)}}$

      2. Sustituimos $u = \tan{\left(2 x + 1 \right)}$.

      3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x + 1 \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(2 x + 1 \right)} = \frac{\sin{\left(2 x + 1 \right)}}{\cos{\left(2 x + 1 \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x + 1 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + 1 \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 2 x + 1$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

               1. diferenciamos $2 x + 1$ miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $2$

                  2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

                  Como resultado de: $2$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $2 \cos{\left(2 x + 1 \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 2 x + 1$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

               1. diferenciamos $2 x + 1$ miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $2$

                  2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

                  Como resultado de: $2$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 2 \sin{\left(2 x + 1 \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x + 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x + 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x + 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}$

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(2 x + 1 \right)} = \frac{\cos{\left(2 x + 1 \right)}}{\sin{\left(2 x + 1 \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + 1 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x + 1 \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x + 1$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

            1. diferenciamos $2 x + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               Como resultado de: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 2 \sin{\left(2 x + 1 \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x + 1$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

            1. diferenciamos $2 x + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               Como resultado de: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \cos{\left(2 x + 1 \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x + 1 \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}$

   Como resultado de: $- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x + 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x + 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x + 1 \right)}} + 1$

2. Simplificamos:

   $-1 - \frac{2}{\tan^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}$

Respuesta:

$-1 - \frac{2}{\tan^{2}{\left(2 x + 1 \right)}}$