Derivada de (x*(x-8))/(x-4)^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(x - 8\right)$ y $g{\left(x \right)} = \left(x - 4\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = x - 8$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 8$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-8$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de: $2 x - 8$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - 4$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 4\right)$:

      1. diferenciamos $x - 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x - 8$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x \left(x - 8\right) \left(2 x - 8\right) + \left(x - 4\right)^{2} \left(2 x - 8\right)}{\left(x - 4\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{32}{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$

Respuesta:

$\frac{32}{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$