Derivada de x*exp(1-x^3)^(1/3)(-x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x \sqrt[3]{e^{1 - x^{3}}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{e^{1 - x^{3}}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = e^{1 - x^{3}}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{u}$ tenemos $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{1 - x^{3}}$:

         1. Sustituimos $u = 1 - x^{3}$.

         2. Derivado $e^{u}$ es.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x^{3}\right)$:

            1. diferenciamos $1 - x^{3}$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

                  Entonces, como resultado: $- 3 x^{2}$

               Como resultado de: $- 3 x^{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 3 x^{2} e^{1 - x^{3}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- x^{2} e^{1 - x^{3}} e^{\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}}$

      Como resultado de: $- x^{3} e^{1 - x^{3}} e^{\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}} + \sqrt[3]{e^{1 - x^{3}}}$

   $g{\left(x \right)} = - x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-1$

   Como resultado de: $- x \left(- x^{3} e^{1 - x^{3}} e^{\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}} + \sqrt[3]{e^{1 - x^{3}}}\right) - x e^{\frac{1}{3} - \frac{x^{3}}{3}}$

2. Simplificamos:

   $x \left(x^{3} - 2\right) e^{\frac{1}{3} - \frac{x^{3}}{3}}$

Respuesta:

$x \left(x^{3} - 2\right) e^{\frac{1}{3} - \frac{x^{3}}{3}}$