Derivada de xsqr(tan)(cos2x)

Solución

Ha introducido [src]

            2     
x*tan(x)*cos (2*x)

$$x \tan{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$

(x*tan(x))*cos(2*x)^2

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x \tan{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$
$g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(2 x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \cos{\left(2 x \right)}$ .
2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(2 x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = 2 x$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $2$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- 4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$
Como resultado de: $- 4 x \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)} + \left(\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(2 x \right)}$
Simplificamos:

$\frac{\left(- x \left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right) + \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\left(- x \left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right) + \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

   2      /  /       2   \         \                               
cos (2*x)*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/ - 4*x*cos(2*x)*sin(2*x)*tan(x)

$$- 4 x \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)} + \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  /   2      /       2        /       2   \       \     /  /       2   \         \                         /   2           2     \       \
2*\cos (2*x)*\1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x)/ - 4*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/*cos(2*x)*sin(2*x) + 4*x*\sin (2*x) - cos (2*x)/*tan(x)/

$$2 \left(4 x \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \tan{\left(x \right)} - 4 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

  /   /   2           2     \ /  /       2   \         \      2      /       2   \ /             /         2   \\      /       2        /       2   \       \                                                  \
2*\12*\sin (2*x) - cos (2*x)/*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/ + cos (2*x)*\1 + tan (x)/*\3*tan(x) + x*\1 + 3*tan (x)// - 12*\1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x)/*cos(2*x)*sin(2*x) + 32*x*cos(2*x)*sin(2*x)*tan(x)/

$$2 \left(32 x \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)} + 12 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) + \left(x \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 3 \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(2 x \right)} - 12 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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