Derivada de сtg(5x)/сtgx

Solución

Ha introducido [src]

cot(5*x)
--------
 cot(x)

$$\frac{\cot{\left(5 x \right)}}{\cot{\left(x \right)}}$$

cot(5*x)/cot(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cot{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(5 x \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(5 x \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(5 x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos{\left(5 x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 5 x$ .
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $5 \cos{\left(5 x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 5 x$ .
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(5 x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = 5 x$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = 5 x$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $5 \cos{\left(5 x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- 5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}}}{\cot^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(5 x \right)}} - \frac{5 \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(5 x \right)}} - \frac{5 \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

          2        /       2   \         
-5 - 5*cot (5*x)   \1 + cot (x)/*cot(5*x)
---------------- + ----------------------
     cot(x)                  2           
                          cot (x)

$$\frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(5 x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + \frac{- 5 \cot^{2}{\left(5 x \right)} - 5}{\cot{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  /                                            /            2   \              /       2   \ /       2     \\
  |   /       2     \            /       2   \ |     1 + cot (x)|            5*\1 + cot (x)/*\1 + cot (5*x)/|
2*|25*\1 + cot (5*x)/*cot(5*x) + \1 + cot (x)/*|-1 + -----------|*cot(5*x) - -------------------------------|
  |                                            |          2     |                         cot(x)            |
  \                                            \       cot (x)  /                                           /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                    cot(x)

$$\frac{2 \left(\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(5 x \right)} - \frac{5 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + 25 \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \cot{\left(5 x \right)}\right)}{\cot{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

  /                                                                                                                                          /            2   \                                            \
  |                                                                                                            /       2   \ /       2     \ |     1 + cot (x)|                                            |
  |/                               2                  3\                                                    15*\1 + cot (x)/*\1 + cot (5*x)/*|-1 + -----------|                                            |
  ||                  /       2   \      /       2   \ |                /       2     \ /         2     \                                    |          2     |      /       2   \ /       2     \         |
  ||         2      5*\1 + cot (x)/    3*\1 + cot (x)/ |            125*\1 + cot (5*x)/*\1 + 3*cot (5*x)/                                    \       cot (x)  /   75*\1 + cot (x)/*\1 + cot (5*x)/*cot(5*x)|
2*||2 + 2*cot (x) - ---------------- + ----------------|*cot(5*x) - ------------------------------------- - --------------------------------------------------- + -----------------------------------------|
  ||                       2                  4        |                            cot(x)                                         cot(x)                                             2                    |
  \\                    cot (x)            cot (x)     /                                                                                                                           cot (x)                 /

$$2 \left(- \frac{15 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{75 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \cot{\left(5 x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - \frac{125 \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cot^{4}{\left(x \right)}} - \frac{5 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \cot{\left(5 x \right)}\right)$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de сtg(5x)/сtgx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2