Derivada de y=tan(sinx)

Solución

Ha introducido [src]

tan(sin(x))

$$\tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

tan(sin(x))

Solución detallada

Reescribimos las funciones para diferenciar:

$\tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$
Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\sin^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/       2        \       
\1 + tan (sin(x))/*cos(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/       2        \ /               2               \
\1 + tan (sin(x))/*\-sin(x) + 2*cos (x)*tan(sin(x))/

$$\left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

/       2        \ /                                 2    /       2        \        2       2        \       
\1 + tan (sin(x))/*\-1 - 6*sin(x)*tan(sin(x)) + 2*cos (x)*\1 + tan (sin(x))/ + 4*cos (x)*tan (sin(x))/*cos(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Gráfico:

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