Derivada de tan(5/x)

Solución

Ha introducido [src]

   /5\
tan|-|
   \x/

$$\tan{\left(\frac{5}{x} \right)}$$

tan(5/x)

Solución detallada

Reescribimos las funciones para diferenciar:

$\tan{\left(\frac{5}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{5}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{5}{x} \right)}}$
Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{5}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{5}{x} \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{5}{x}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{5}{x}$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
    Entonces, como resultado: $- \frac{5}{x^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{5 \cos{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{5}{x}$ .
2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{5}{x}$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
    Entonces, como resultado: $- \frac{5}{x^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{5 \sin{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \frac{5 \sin^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{5 \cos^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{5}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{5}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

   /       2/5\\
-5*|1 + tan |-||
   \        \x//
----------------
        2       
       x

$$- \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                 /         /5\\
                 |    5*tan|-||
   /       2/5\\ |         \x/|
10*|1 + tan |-||*|1 + --------|
   \        \x// \       x    /
-------------------------------
                3              
               x

$$\frac{10 \left(1 + \frac{5 \tan{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                  /       /       2/5\\         /5\         2/5\\
                  |    25*|1 + tan |-||   30*tan|-|   50*tan |-||
    /       2/5\\ |       \        \x//         \x/          \x/|
-10*|1 + tan |-||*|3 + ---------------- + --------- + ----------|
    \        \x// |            2              x            2    |
                  \           x                           x     /
-----------------------------------------------------------------
                                 4                               
                                x

$$- \frac{10 \left(\tan^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)} + 1\right) \left(3 + \frac{30 \tan{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x} + \frac{25 \left(\tan^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{50 \tan^{2}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

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Definida a trozos:

Solución