Derivada de tan(4*x)+2/3*tan(4*x)^(3)+1/5*tan(4*x)^(5)

1. diferenciamos $\left(\frac{2 \tan^{3}{\left(4 x \right)}}{3} + \tan{\left(4 x \right)}\right) + \frac{\tan^{5}{\left(4 x \right)}}{5}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\frac{2 \tan^{3}{\left(4 x \right)}}{3} + \tan{\left(4 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 4 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $4 \cos{\left(4 x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 4 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = \tan{\left(4 x \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(4 x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 4 x$.

            2. $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $4$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{4}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{3 \left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \tan^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{2 \left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \tan^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

      Como resultado de: $\frac{2 \left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \tan^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}} + \frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \tan{\left(4 x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(4 x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 4 x$.

         2. $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{4}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{5 \left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \tan^{4}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{\left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \tan^{4}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{\left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \tan^{4}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}} + \frac{2 \left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \tan^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}} + \frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4}{\cos^{6}{\left(4 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4}{\cos^{6}{\left(4 x \right)}}$