Derivada de y=√x+7(x-3)⁴/(x+2)^5

1. diferenciamos $\sqrt{x} + \frac{7 \left(x - 3\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{5}}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 7 \left(x - 3\right)^{4}$ y $g{\left(x \right)} = \left(x + 2\right)^{5}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = x - 3$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)$:

            1. diferenciamos $x - 3$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $4 \left(x - 3\right)^{3}$

         Entonces, como resultado: $28 \left(x - 3\right)^{3}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 2$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)$:

         1. diferenciamos $x + 2$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 \left(x + 2\right)^{4}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- 35 \left(x - 3\right)^{4} \left(x + 2\right)^{4} + 28 \left(x - 3\right)^{3} \left(x + 2\right)^{5}}{\left(x + 2\right)^{10}}$

   Como resultado de: $\frac{- 35 \left(x - 3\right)^{4} \left(x + 2\right)^{4} + 28 \left(x - 3\right)^{3} \left(x + 2\right)^{5}}{\left(x + 2\right)^{10}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{14 \sqrt{x} \left(23 - x\right) \left(x - 3\right)^{3} + \left(x + 2\right)^{6}}{2 \sqrt{x} \left(x + 2\right)^{6}}$

Respuesta:

$\frac{14 \sqrt{x} \left(23 - x\right) \left(x - 3\right)^{3} + \left(x + 2\right)^{6}}{2 \sqrt{x} \left(x + 2\right)^{6}}$