Derivada de -y^2sin5(y^2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

   $f{\left(y \right)} = - y^{2}$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $y^{2}$ tenemos $2 y$

      Entonces, como resultado: $- 2 y$

   $g{\left(y \right)} = \sin^{5}{\left(y^{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(y^{2} \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} \sin{\left(y^{2} \right)}$:

      1. Sustituimos $u = y^{2}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} y^{2}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $y^{2}$ tenemos $2 y$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 y \cos{\left(y^{2} \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $10 y \sin^{4}{\left(y^{2} \right)} \cos{\left(y^{2} \right)}$

   Como resultado de: $- 10 y^{3} \sin^{4}{\left(y^{2} \right)} \cos{\left(y^{2} \right)} - 2 y \sin^{5}{\left(y^{2} \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 2 y \left(5 y^{2} \cos{\left(y^{2} \right)} + \sin{\left(y^{2} \right)}\right) \sin^{4}{\left(y^{2} \right)}$

Respuesta:

$- 2 y \left(5 y^{2} \cos{\left(y^{2} \right)} + \sin{\left(y^{2} \right)}\right) \sin^{4}{\left(y^{2} \right)}$